题目内容
（2013•通州区一模）现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
，yn=
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．
| n |
| 5 |
| 1 |
| T |
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．
分析：（Ⅰ）结合已知代入可求f（0）=
，f（1）=
即可求解
（Ⅱ）由题意可得，kn=
=
an，结合已知a0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，可判断
（Ⅲ）要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn，
法一：可证5（a1+a2+…+an）=[n+（5-n）]（a1+a2+…+an）＜nT，即可证明
法二：kn＜1时，yn=（y1-y0）+（y2-y1）+…+（yn-yn-1）
当kn≥1时，yn=y5-（y5-yn）=1-[（yn+1-yn）+（yn+2-yn+1）+…+（y5-y4）]可证明
| a0 |
| a0+a1+…+a5 |
| a0+a1+…+a5 |
| a0+a1+…+a5 |
（Ⅱ）由题意可得，kn=
| yn-yn-1 |
| xn-xn-1 |
| 5 |
| T |
（Ⅲ）要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn，
法一：可证5（a1+a2+…+an）=[n+（5-n）]（a1+a2+…+an）＜nT，即可证明
法二：kn＜1时，yn=（y1-y0）+（y2-y1）+…+（yn-yn-1）
当kn≥1时，yn=y5-（y5-yn）=1-[（yn+1-yn）+（yn+2-yn+1）+…+（y5-y4）]可证明
解答：（Ⅰ）解：f(0)=
=0，…（2分）
f(1)=
=1； …（4分）
（Ⅱ）解：kn=
=
an，n=1，2，3，4，5． …（6分）
因为 a0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
所以 k1＜k2＜k3＜k4＜k5． …（8分）
（Ⅲ）证：由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）．…（9分）
事实上，当x∈（xn-1，xn）时，f(x)=
•(x-xn-1)+f(xn-1)=
f(xn-1)+
f(xn)＜
xn-1+
xn=x．
下面证明f（xn）＜xn．
法一：对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+a2+…+an）=[n+（5-n）]（a1+a2+…+an）…（10分）=n（a1+a2+…+an）+（5-n）（a1+a2+…+an）≤n（a1+a2+…+an）+（5-n）nan…（11分）=n[a1+a2+…+an+（5-n）an]＜n（a1+a2+…+an+an+1+…+a5）=nT…（12分）
所以 f(xn)=
＜
=xn．…（13分）
法二：对任何n（n=1，2，3，4），
当kn＜1时，yn=（y1-y0）+（y2-y1）+…+（yn-yn-1）=
(k1+k2+…+kn)＜
=xn；…（10分）
当kn≥1时，yn=y5-（y5-yn）=1-[（yn+1-yn）+（yn+2-yn+1）+…+（y5-y4）]=1-
(kn+1+kn+2+…+k5)＜1-
(5-n)=
=xn．
综上，f（xn）＜xn． …（13分）
| a0 |
| a0+a1+a2+a3+a4+a5 |
f(1)=
| a0+a1+a2+a3+a4+a5 |
| a0+a1+a2+a3+a4+a5 |
（Ⅱ）解：kn=
| yn-yn-1 |
| xn-xn-1 |
| 5 |
| T |
因为 a0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
所以 k1＜k2＜k3＜k4＜k5． …（8分）
（Ⅲ）证：由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）．…（9分）
事实上，当x∈（xn-1，xn）时，f(x)=
| f(xn)-f(xn-1) |
| xn-xn-1 |
| xn-x |
| xn-xn-1 |
| x-xn-1 |
| xn-xn-1 |
| xn-x |
| xn-xn-1 |
| x-xn-1 |
| xn-xn-1 |
下面证明f（xn）＜xn．
法一：对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+a2+…+an）=[n+（5-n）]（a1+a2+…+an）…（10分）=n（a1+a2+…+an）+（5-n）（a1+a2+…+an）≤n（a1+a2+…+an）+（5-n）nan…（11分）=n[a1+a2+…+an+（5-n）an]＜n（a1+a2+…+an+an+1+…+a5）=nT…（12分）
所以 f(xn)=
| a1+a2+…+an |
| T |
| n |
| 5 |
法二：对任何n（n=1，2，3，4），
当kn＜1时，yn=（y1-y0）+（y2-y1）+…+（yn-yn-1）=
| 1 |
| 5 |
| n |
| 5 |
当kn≥1时，yn=y5-（y5-yn）=1-[（yn+1-yn）+（yn+2-yn+1）+…+（y5-y4）]=1-
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| n |
| 5 |
综上，f（xn）＜xn． …（13分）
点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列的求和及一定的推理与运算的能力，试题具有一定的综合性
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