题目内容

现有一组互不相同且从小到大排列的数据:a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记T=a0+a1+…+a5,xn=,yn=(a0+a1+…+an),作函数y=f(x),使其图象为逐点依次连结点Pn(xn,yn)(n=0,1,2, …,5)的折线.

(1)求f(0)和f(1)的值;

(2)设Pn-1Pn的斜率为kn(n=1,2,3,4,5),判断k1、k2、k3、k4、k5的大小关系;

(3)证明当x∈(0,1)时,f(x)＜x.

思路解析:本题主要考查函数知识、斜率公式、分析问题解决问题的能力,结合已知采用分析法将所求问题转化到能够解决的范围内.

(1)解:f(0)==0,f(1)==1.

(2)解:kn=,n=1,2, …,5,

因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5,

所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5.

(3)证明:由于f(x)的图象是连结各点Pn(xn,yn)(n=0,1, …,5)的折线,要证明f(x)＜x(0＜x＜1),只需证明f(xn)＜xn(n=1,2,3,4).事实上,当x∈(xn-1,xn)时,

f(x)=(x-xn-1)+f(xn-1)

=f(xn-1)+f(xn)

＜=x.

下面证明f(xn)＜xn.

对任何n(n=1,2,3,4),

5(a1+…+an)=［n+(5-n)］(a1+…+an)

=n(a1+…+an)+(5-n)(a1+…+an)

≤n(a1+…+an)+(5-n)nan=n［a1+…+an+(5-n)an］

＜n(a1+…+an+an+1+…+a5)=nT.

所以f(xn)=＜=xn.

练习册系列答案
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n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．
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n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．
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（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）设Pn－1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；

（Ⅲ）证明：f（xn）<xn（n=1，2，3，4）.

现有一组互不相同且从小到大排列的数据a，a1，a2，a3，a4，a5，其中a=0．记T=a+a1+a2+a3+a4+a5，，（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．

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