Question

已知数列满足：，且
（1）求通项公式
（2）设的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得
若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由．

Answer 1

 （1）；（2）见解析.

第一问利用数列的递推关系，我们可以得到当n是奇数时；当n是偶数时，,然后利用递推关系，求解得到数列的通项公式即可
第二问中，利用前n项和的递推关系，我们借助于，
若存在正整数m、n，使得，
得到，借助于m的范围，对其令值，然后解。
解：（1）当n是奇数时；当n是偶数时，．
所以，当n是奇数时，；当n是偶数时，．……………2分
又，，所以，是首项为1，公差为2的等差数列；
…是首项为2，公比为3的等比数列．       …………4分
所以，．         ………………………………6分
（2）由（1），得

，
．       ……………8分
所以，若存在正整数m、n，使得，则
．……9分
显然，当m=1时，；
当m=2时，由，整理得．
显然，当n=1时，不成立；
当n=2时，成立，
所以(2,2)是符合条件的一个解．                 ……………11分
当时，
……………12分
当m=3时，由，整理得n=1，
所以(3,1)是符合条件的另一个解．
综上所述，所有的符合条件的正整数对(m,n)，有且仅有(3,1)和(2,2)两对． 14分
（注：如果仅写出符合条件的正整数对(3,1)和(2,2)，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）