题目内容
如图,已知多面体的底面
是边长为
的正方形,
底面
,
,且
.
(Ⅰ)求多面体的体积;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)记线段BC的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.
(Ⅰ)(Ⅰ).
(Ⅱ)设直线与平面
所成角为
,
(Ⅲ)利用三角形中位线定理,取线段DC的中点,连接即为所求.
解析试题分析:(Ⅰ)(Ⅰ)连接ED,利用“分割法”计算得.
(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为轴,AD所在的直线为
轴,建立空间直角坐标系.确定得到A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),及
.
利用 确定平面
的一个法向量为
.
设直线与平面
所成角为
,
(Ⅲ)取线段DC的中点;连接
,则直线
即为所求.
试题解析:(Ⅰ)如图,连接ED,
∵底面
且
,∴
底面
,
∴,
∵,
∴面
, 1分
∴, 2分
, 3分
∴多面体的体积
. 5分
(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为轴,AD所在的直线为
轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),
所以 7分
设平面ECF的法向量为,
则 得:
取y=1,得平面的一个法向量为
9分
设直线与平面
所成角为
,
所以 11分
(Ⅲ)取线段CD的中点;连接
,直线
即为所求. 12分
图上有正确的作图痕迹 13分
考点:1、平行关系,2、垂直关系,3、空间向量的应用,4、角及体积的计算.

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