Question

已知2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），则下列说法正确的为（　　）

A．f（x）为奇函数且在（0，+∞）上为增函数

B．f（x）为奇函数且在（0，+∞）上为减函数

C．f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数

D．f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为减函数

Answer 1

分析：通过函数的关系求出函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断单调区间即可得到选项．

解答：解：因为2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），…①
所以2f（

1

x

）+f（x）=-3x（x≠0），…②，
解①②得f（x）=x-

2

x

，函数满足f（-x）=-f（x），所以函数是奇函数．
又可判断出g（x）=-

2

x

在（0，+∞）上为增函数．所以函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
故选A．

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的奇偶性与函数的单调性的综合应用，考查计算能力．