Question

已知2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）为奇函数且在（-∞，0）上为增函数

B．f（x）为奇函数且在（-∞，0）上为减函数

C．f（x）为偶函数且在（-∞，0）上为增函数

D．f（x）为偶函数且在（-∞，0）上为减函数

Answer 1

分析：使用方程组法，可以求出函数f（x）的解析式，进而根据函数奇偶性的定义和函数单调性的性质，判断出函数的奇偶性和单调性可得答案．

解答：解：∵2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

…①
∴2f（

1

x

）+f（x）=-3x…②
①×2-②得
3f（x）=-

6

x

+3x
∴f（x）=-

2

x

+x
易得在x≠0时，f（-x）=-f（x）恒成立，故函数为奇函数
又∵在（-∞，0）上y=-

2

x

为增函数，y=x也为增函数
∴f（x）=-

2

x

+x在（-∞，0）上为增函数
故选A

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数解析的求法，函数单调性的性质，其中利用方程组法求出函数的解析式是解答的关键．