题目内容
已知2f(x)+f(
)=-
(x≠0),则下列说法正确的是( )
1 |
x |
3 |
x |
分析:使用方程组法,可以求出函数f(x)的解析式,进而根据函数奇偶性的定义和函数单调性的性质,判断出函数的奇偶性和单调性可得答案.
解答:解:∵2f(x)+f(
)=-
…①
∴2f(
)+f(x)=-3x…②
①×2-②得
3f(x)=-
+3x
∴f(x)=-
+x
易得在x≠0时,f(-x)=-f(x)恒成立,故函数为奇函数
又∵在(-∞,0)上y=-
为增函数,y=x也为增函数
∴f(x)=-
+x在(-∞,0)上为增函数
故选A
1 |
x |
3 |
x |
∴2f(
1 |
x |
①×2-②得
3f(x)=-
6 |
x |
∴f(x)=-
2 |
x |
易得在x≠0时,f(-x)=-f(x)恒成立,故函数为奇函数
又∵在(-∞,0)上y=-
2 |
x |
∴f(x)=-
2 |
x |
故选A
点评:本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,函数解析的求法,函数单调性的性质,其中利用方程组法求出函数的解析式是解答的关键.
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