题目内容

【题目】设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=的a的值,并求此时函数的最大值.

【答案】见解析

【解析】 令cosx=t,t∈[-1,1],

则y=2t2-2at-(2a+1)

=2(t-)2-2a-1,

关于t的二次函数的对称轴是t=

<-1,即a<-2时,

函数y在t∈[-1,1]上是单调递增,

所以f(a)=f(-1)=1≠

>1,即a>2时,

函数y在t∈[-1,1]上是单调递减,

所以f(a)=f(1)=-4a+1=

解得a=,这与a>2矛盾;

当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,

f(a)=--2a-1=

即a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3,

因为-2≤a≤2,所以a=-1.

所以y=2t2+2t+1,t∈[-1,1],所以当t=1时,

函数取得最大值ymax=2+2+1=5.

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