Question

【题目】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解 (1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，

由题意得4＋＝5，所以p＝2，

所以抛物线的方程为y2＝4x.

(2)由题意知，圆M的圆心为点(0,2)，半径为2.

当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，

此时，直线AK与圆M相离；

当m≠4时，由(1)知A(4,4)，

则直线AK的方程为y＝ (x－m)，

即4x－(4－m)y－4m＝0，

圆心M(0,2)到直线AK的距离

d＝，

令d>2，解得m>1.

所以，当m>1时，直线AK与圆M相离；

当m＝1时，直线AK与圆M相切；

当m<1时，直线AK与圆M相交．