题目内容
（2006•东城区一模）已知f（x）=（x-1）2，g（x）=10（x-1），数列{an}满足a1=2，（an+1-an）g（an）+f（an）=0．
（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；
（Ⅱ）若bn=
(n+2)(an-1)，当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值．
（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；
（Ⅱ）若bn=
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分析：（ I）表示出（an+1-an）g（an）+f（an）=0，可化简为an+1=
an+
，可证
为常数；
（Ⅱ）（Ⅱ）由（ II）可知an-1=(
)n-1（n∈N*），则bn=
(n+2)(an-1)=(n+2)(
)n，作商
，通过与1比较大小可{bn}的单调情况，由此可的最大值；
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| 1 |
| 10 |
| an+1-1 |
| an-1 |
（Ⅱ）（Ⅱ）由（ II）可知an-1=(
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| 10 |
| 9 |
| 10 |
| 9 |
| 10 |
| bn+1 |
| bn |
解答：解：（ I）∵（an+1-an）g（an）+f（an）=0，f(an)=(an-1)2，g（an）=10（an-1），
∴(an+1-an)10(an-1)+(an-1)2=0，即（an-1）（10an+1-9an-1）=0．
又a1=2，可知对任何n∈N*，an-1≠0，
所以an+1=
an+
．
∵
=
=
，
∴{an-1}是以a1-1=1为首项，公比为
的等比数列．
（Ⅱ）由（ II）可知an-1=(
)n-1（n∈N*）．
∴bn=
(n+2)(an-1)=(n+2)(
)n，
=
=
(1+
)．
当n=7时，
=1，b8=b7；
当n＜7时，
＞1，bn+1＞bn；
当n＞7时，
＜1，bn+1＜bn．
∴当n=7或n=8时，bn取最大值，最大值为b7=b8=
．
∴(an+1-an)10(an-1)+(an-1)2=0，即（an-1）（10an+1-9an-1）=0．
又a1=2，可知对任何n∈N*，an-1≠0，
所以an+1=
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| 10 |
| 1 |
| 10 |
∵
| an+1-1 |
| an-1 |
| ||||
| an-1 |
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∴{an-1}是以a1-1=1为首项，公比为
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（Ⅱ）由（ II）可知an-1=(
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∴bn=
| 9 |
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| 9 |
| 10 |
| bn+1 |
| bn |
(n+3)(
| ||
(n+2)(
|
| 9 |
| 10 |
| 1 |
| n+2 |
当n=7时，
| b8 |
| b7 |
当n＜7时，
| bn+1 |
| bn |
当n＞7时，
| bn+1 |
| bn |
∴当n=7或n=8时，bn取最大值，最大值为b7=b8=
| 98 |
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点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的函数特性，属中档题．
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