Question

（2006•东城区一模）已知函数f(x)=|1-

1

x

|， (x＞0)．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，且

1

a

+

1

b

=2，再利用基本不等式即可得到结论．
（2）先假设存在满足条件的实数a，b，由于f（x）是绝对值函数，则分当a，b∈（0，1）时、a∈（0，1）且b∈[1，+∞）和a，b∈[1，+∞）时三种情况分析，即可得到正确结论．

解答：解：（1）f（a）=f（b）得|1-

1

a

|=|1-

1

b

|，1-

1

a

=±(1-

1

b

)，得a=b（舍）或

1

a

+

1

b

=2
∴2=

a+b

ab

≥

2 ab

ab

=

2

ab

，∴

ab

≥1
∵a≠b，∴等号不可以成立，故ab＞1…..…（5分）
（2）不存在.f(x)=

1- 1 x  x≥1 1 x -1 x＜1

，
①当a，b∈（0，1）时，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上单调递减，可得

f(a)=b f(b)=a

∴

1 a -1=b 1 b -1=a

，

1

a

-

1

b

=b-a得b=

1

a

，-1=0矛盾
②当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，显然1∈[a，b]，而f（1）=0，则0∈[a，b]矛盾
③当a，b∈[1，+∞)，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上单调递增，可得

f(a)=a f(b)=b

∴

1- 1 a =a 1- 1 b =b

，a，b是方程1-

1

x

=x的两个根，此方程无解； …（11分）

点评：本题主要考查绝对值函数的单调性、定义域和值域，同时还考查学生的分类讨论解决问题的能力．