Question

14．已知函数f（x）=ax-ln（x+b）在点（1，1）处的切线与x轴平行．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明：$\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-f（k）}＞\frac{{3{n^2}-n-2}}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f′（1）=0，f（1）=a-lnb=1，即可求实数a，b的值；
（2）k-f（k）=lnk，设$h（x）=\frac{{{x^2}-1}}{4}-lnx（x≥2）$，则$h′（x）=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2}}{2}＞0$恒成立，即h（x）在[2，+∞）上是增函数，b_n＞a_n等价于$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{2}}$=h（2）=$\frac{3}{4}$-ln2＞0，即可证明结论．

解答 解：（1）∵$f′（x）=a-\frac{1}{x+b}$，又由已知得f′（1）=0①f（1）=a-lnb=1②
由①，②解得：a=1，b=0
（2）k-f（k）=lnk，设${b_n}=lnn，{T_n}=\frac{{3{n^2}-n-2}}{n（n+1）}，{a_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{4}{{{n^2}-1}}$
当n≥2时有，$\frac{1}{a_n}=\frac{{{n^2}-1}}{4}＞0，{b_n}=lnn＞0$
设$h（x）=\frac{{{x^2}-1}}{4}-lnx（x≥2）$，则$h′（x）=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2}}{2}＞0$恒成立
即h（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴b_n＞a_n等价于$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{2}}$=h（2）=$\frac{3}{4}$-ln2＞0，
∴$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{8}$+…+$\frac{4}{{n}^{2}-1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$，
∴$\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-f（k）}＞\frac{{3{n^2}-n-2}}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．