题目内容

设函数f(x)=ax+
1
x+b
(a,b∈Z)
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(Ⅰ)求f(x)的解析式:
(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;
(Ⅲ)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
(Ⅰ)f′(x)=a-
1
(x+b)2

于是
2a+
1
2+b
=3
a-
1
(2+b)2
=0

解得
a=1
b=-1
a=
9
4
b=-
8
3
.

因a,b∈Z,故f(x)=x+
1
x-1

(Ⅱ)证明:已知函数y1=x,y2=
1
x
都是奇函数.
所以函数g(x)=x+
1
x
也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.
f(x)=x-1+
1
x-1
+1
.可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,
故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.
(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点(x0x0+
1
x0-1
)

f′(x0)=1-
1
(x0-1)2
知,过此点的切线方程为y-
x20
-x0+1
x0-1
=[1-
1
(x0-1)2
](x-x0)

令x=1得y=
x0+1
x0-1
,切线与直线x=1交点为(1,
x0+1
x0-1
)

令y=x得y=2x0-1,切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
从而所围三角形的面积为
1
2
|
x0+1
x0-1
-1||2x0-1-1|=
1
2
|
2
x0-1
||2x0-2|=2

所以,所围三角形的面积为定值2.
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