Question

2．△ABC两个顶点A、B的坐标分别是（-2，0），（2，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于-$\frac{3}{4}$
（Ⅰ）求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）求上述轨迹中以P（1，$\frac{1}{2}$）为中点的弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出C的坐标，利用AC、BC所在直线的斜率之积等于-$\frac{3}{4}$，列出方程，求出点C的轨迹方程；
（Ⅱ）利用点差法，即可求出以P（1，$\frac{1}{2}$）为中点的弦所在的直线方程．

解答 解：（Ⅰ）设C（x，y）x≠±2，因为AC、BC所在直线的斜率之积等于-$\frac{3}{4}$．
所以$\frac{y}{x-2}•\frac{y}{x+2}$=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，y≠0或x≠±2，
所求的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，y≠0或x≠±2，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（y≠0），（或x≠±2）．
（Ⅱ）设弦为PQ，弦所在直线斜率为k，其中P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
所以$\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{3}=1$$\frac{{{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_2}^2}}{3}=1$
相减得：$\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{3}=0⇒\frac{{（{{x_1}-{x_2}}）（{{x_1}+{x_2}}）}}{4}+\frac{{（{{y_1}-{y_2}}）（{{y_1}+{y_2}}）}}{3}=0$$⇒\frac{{（{{x_1}+{x_2}}）}}{4}+\frac{{（{{y_1}-{y_2}}）（{{y_1}+{y_2}}）}}{{3（{{x_1}-{x_2}}）}}=0⇒\frac{1}{2}+\frac{1}{3}k=0⇒k=-\frac{3}{2}$，
所以所求直线方程为：3x+2y-4=0…（13分）

点评 本题是中档题，考查点的轨迹方程的求法，考查点差法，考查计算能力，注意直线的斜率垂直的条件的应用．