Question

15．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x的单调递减区间为（m，m+2），则a的值为$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，得到m，m+2是方程ax²+2x-1=0的2个根，根据方程根与系数的关系，解关于a的方程即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=$\frac{1-{ax}^{2}-2x}{x}$，
由题意知f′（x）＜0有实数解，
∵x＞0，∴m＞0．m+2＞0，
由m+m+2=-$\frac{2}{a}$，m•（m+2）=-$\frac{1}{a}$，
得；a＜0
当a＜0时，只要△=4+4a＞0，
∴-1＜a＜0，
由题意得：m，m+2是方程ax²+2x-1=0的2个根，
由m+m+2=-$\frac{2}{a}$，m•（m+2）=-$\frac{1}{a}$，
得：|m+2-m|=$\sqrt{{（-\frac{2}{a}）}^{2}-4•（-\frac{1}{a}）}$=2，
∴a²-2a-4=0，
解得：a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，∵-1＜a＜0，
故答案为：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了导数的应用，考查韦达定理，是一道基础题．