Question

18．计算：cos$\frac{π}{2015}$cos$\frac{2π}{2015}$cos$\frac{3π}{2015}$…cos$\frac{1007π}{2015}$=$\frac{1}{{2}^{1007}}$．

Answer 1

分析 设x=cos$\frac{π}{2015}$cos$\frac{2π}{2015}$cos$\frac{3π}{2015}$…cos$\frac{1007π}{2015}$，y=sin$\frac{π}{2015}$sin$\frac{2π}{2015}$sin$\frac{3π}{2015}$…sin$\frac{1007π}{2015}$，可得x×y=$\frac{1}{{2}^{1007}}$×y，从而解得x的值．

解答 解：设x=cos$\frac{π}{2015}$cos$\frac{2π}{2015}$cos$\frac{3π}{2015}$…cos$\frac{1007π}{2015}$，
y=sin$\frac{π}{2015}$sin$\frac{2π}{2015}$sin$\frac{3π}{2015}$…sin$\frac{1007π}{2015}$，
x×y=$\frac{1}{{2}^{1007}}$sin$\frac{2π}{2015}$sin$\frac{4π}{2015}$sin$\frac{6π}{2015}$…sin$\frac{2010π}{2015}$sin$\frac{2012π}{2015}$sin$\frac{2014π}{2015}$
=$\frac{1}{{2}^{1007}}$sin$\frac{2π}{2015}$sin$\frac{4π}{2015}$sin$\frac{6π}{2015}$…sin$\frac{5π}{2015}$sin$\frac{3π}{2015}$sin$\frac{π}{2015}$
=$\frac{1}{{2}^{1007}}$×y，
从而解得：x=$\frac{1}{{2}^{1007}}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{1007}}$．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦，诱导公式，同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．