Question

14．二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．
（3）在区间[-1，3]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可，
（2）只需保证对称轴落在区间内部即可，
（3）在区间[-1，3]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，直接利用二次函数闭区间上的最值求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）为二次函数且f（0）=f（2），
∴对称轴为x=1．
又∵f（x）最小值为1，∴可设f（x）=a（x-1）²+1　（a＞0）
∵f（0）=3，∴a=2，∴f（x）=2（x-1）²+1，
即f（x）=2x²-4x+3．
（2）由条件知2a＜1＜a+1，∴0＜a＜$\frac{1}{2}$．
（3）x∈[-1，3]时，2x²-4x+3＞2x+2m+1，
∴2m＜2x²-6x+2，
即-1≤x≤3时：，m＜x²-3x+1，
令g（x）=x²-3x+1=${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，（-1≤x≤3），
∴g（x）的对称轴是x=$\frac{3}{2}$，函数在[-1，$\frac{3}{2}$）递减，在（$\frac{3}{2}$，3]递增，
∴g（x）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，
∴m＜-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查函数的解析式的求法二次函数的最值，函数的恒成立条件的应用，考查分析问题解决问题的能力．