Question

经过点（3，1）被圆C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短的直线的方程是（ ）
A．x-2y-1=0
B．x+2y-1=0
C．x+2y-5=0
D．2x-y-5=0

Answer 1

【答案】分析：根据圆的性质可得（l为直线被圆截得的弦长），若使经过点（3，1）被圆C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短，则只要圆心C到直线的距离d最大，而d≤PC，当直线l与PC垂直时，d_max=PC，从而可求直线方程
解答：解：由题意可得圆心为C（1，2），半径r=5
根据圆的性质可得（l为直线被圆截得的弦长）
若使经过点（3，1）被圆C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短，则只要圆心C到直线的距离d最大
根据题意可得，d≤PC，当直线l与PC垂直时，d_max=PC==
此时所求直线的斜率为=2
∴所求的直线的方程为y-1=2（x-3）整理可得2x-y-5=0
故选D

点评：本题主要考查了直线与圆的相交位置关系的应用，解题的关键 是灵活利用圆性质（l为直线被圆截得的弦长），把所求弦的最小转化为圆心到直线的距离的最大值