题目内容
(2013•重庆)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率
,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4.

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程.



(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程.

(1)
(2)


(1)由题意知点A(﹣c,2)在椭圆上,则
,即
①
∵离心率
,∴
②
联立①②得:
,所以b2=8.
把b2=8代入②得,a2=16.
∴椭圆的标准方程为
;
(2)设Q(t,0),圆Q的半径为r,则圆Q的方程为(x﹣t)2+y2=r2,
不妨取P为第一象限的点,因为PQ⊥P'Q,则P(
)(t>0).
联立
,得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0.
由△=(﹣4t)2﹣4(2t2+16﹣2r2)=0,得t2+r2=8
又P(
)在椭圆上,所以
.
整理得,
.
代入t2+r2=8,得
.
解得:
.所以
,
.
此时
.
满足椭圆上的其余点均在圆Q外.
由对称性可知,当t<0时,t=﹣
,
.
故所求椭圆方程为
.


∵离心率


联立①②得:

把b2=8代入②得,a2=16.
∴椭圆的标准方程为

(2)设Q(t,0),圆Q的半径为r,则圆Q的方程为(x﹣t)2+y2=r2,
不妨取P为第一象限的点,因为PQ⊥P'Q,则P(

联立

由△=(﹣4t)2﹣4(2t2+16﹣2r2)=0,得t2+r2=8
又P(


整理得,

代入t2+r2=8,得

解得:



此时

满足椭圆上的其余点均在圆Q外.
由对称性可知,当t<0时,t=﹣


故所求椭圆方程为


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