Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+1（x∈R）的图象过点A（﹣1，3）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax2+1（x∈R）的图象过点A（﹣1，3），

∴a+1=3，∴a=2，

∴函数的解析式为f（x）=2x2+1

（Ⅱ）证明：∵f（x）=2x2+1，

∴f′（x）=4x，

∵x＜0，∴f′（x）=4x＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数

【解析】（1）由于图象过点A，代入可得a的值，得到解析式，（2）求导可判断出f（x）在（﹣∞，0）上是减函数.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．