题目内容

下列命题中：
①函数f（x）=ln（x+l）-
2
x
在区间（1，2）有零点；
③己知当x∈（0，+∞）时，幕函数y=（m2-m-1）•x-5m-3为减函数，则实数m=2；
③若|a|=2|b|≠0，函数f（x）=
1
3
x3+
1
2
|a|x2+a•b在R上有极值，则向量a．与b的夹角范围为[
π
3
，π]；
④已知函数f（x）=lg（x2-2x+a）的值域是R，则a＞1．
其中正确命题的序号为
①②
①②
．
分析：①由函数f（x）=ln（x+l）-
2
x
在（1，2）内连续，且f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，知函数f（x）=ln（x+l）-
2
x
在区间（1，2）有零点；
②由题设知
m2-m-1=1
-5m-3＜0
，由此能求出m；
③根据函数在实数上有极值求出导函数，使得导函数等于零有解，即一元二次方程有解，判别式大于零，得到
a
的模与两向量数量积的不等关系，把不等关系代入夹角公式，得到夹角余弦的范围，求出角的范围．
④由f（x）=lg（x2-2x+a）的值域是R，知4-4a≥0，由此能求出a的取值范围．
解答：解：①∵函数f（x）=ln（x+l）-
2
x
在（1，2）内连续，
且f（1）=ln2-2＜0，
f（2）=ln3-1＞0，
∴函数f（x）=ln（x+l）-
2
x
在区间（1，2）有零点，故①正确；
②∵当x∈（0，+∞）时，幕函数y=（m2-m-1）•x-5m-3为减函数，
∴
m2-m-1=1
-5m-3＜0
，∴m=2，故②正确；
③∵f′（x）=x2+|
a
|x+
a
•
b
，
∵函数在实数上有极值，
∴△=
a
2-4
a
•
b
＞0，
∴4
a
•
b
＜
a
2，
∵cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
＜
1
2
，
∴θ∈（
π
3
，π），故③不正确；
④∵f（x）=lg（x2-2x+a）的值域是R，
∴x2-2x+a能取到所有大于零的值，
∴4-4a≥0，
所以a≤1，故④不正确．
故答案为：①②．
点评：本题考查命题的真假判断，具体涉及到函数的零点、函数的单调性、向量、值域等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
下列命题中：
①函数f（x）=sinx+
2
sinx
（x∈（0，π））的最小值是2
2
；
②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形：
③如果正实数a，b，c满足a+b＞c，则
a
1+a
+
b
1+b
＞
c
1+c
；其中正确的命题是（　　）
A、①②③B、①C、②③D、③
下列命题中：
①函数f(x)=x+
2
x
(x∈(0，1))的最小值是2
2
；
②对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
③如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件；
④已知存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，则实数a的取值范围是a≥2．
其中正确的命题是
②③
②③
．
下列命题中：
①函数f(x)=x+
2
x
(x∈(0，1))的最小值是2
2
；
②对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
③如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件；
④已知存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，则实数a的取值范围是a≥2．
其中正确的命题是______．
下列命题中：
①函数f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；
②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形：
③如果正实数a，b，c满足a+b＞c，则+；其中正确的命题是（ ）
A．①②③
B．①
C．②③
D．③

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