Question

下列命题中：
①函数f(x)=x+

2

x

(x∈(0，1))的最小值是2

2

；
②对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
③如果y=f（x）是可导函数，则f′（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀处取到极值的必要不充分条件；
④已知存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，则实数a的取值范围是a≥2．
其中正确的命题是

②③

．

Answer 1

分析：①利用基本不等式判断．②利用奇偶函数的性质判断．③利用导数与函数的极值之间的关系进行判断．④利用绝对值的几何意义判断．

解答：解：①因为f(x)=x+

2

x

≥2

x? 2 x

=2

2

，当且仅当x=

2

x

即x2=2，x=

2

取等号，但

2

∉(0，1)，所以f（x）的最小值不是2

2

，所以①错误．
②由题意知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，当x＞0时，函数f（x）为增函数，g（x）为增函数，则当x＜0时，函数f（x）为增函数所以f′（x）＞0，g（x）为减函数，所以g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x）成立，所以②正确．
③对应可导函数y=f（x），若y=f（x）在x=x₀处取到极值，则必有f′（x₀）=0．但当f′（x₀）=0，则函数在x=x₀处不一定取到极值，比如函数f（x）=x³单调递增，函数的导数为f'（x）=2x²，当x=0时，f′（x₀）=0，所以f′（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀处取到极值的必要不充分条件，所以③正确．
④因为根据绝对值的几何意义得|x+1|-|x-1|≤2，所以要使存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，则a≤2，所以④错误．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查了命题的真假判断，牵扯的知识点较多，综合性较强．要求熟练掌握相关的知识．