题目内容
现有下列命题:①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②已知的最小值为16;
③数列;
④设函数,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
⑤若,则siny-cos2x的最大值是.
其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号)
【答案】分析:①将a2-b2=1,分解变形为(a+1)(a-1)=b2,即可证明a-1<b,即a-b<1;
②先利用基本不等式求得2b(a-b)范围,进而代入原式,进一步利用基本不等式求得问题答案.
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理.
④题中原方程f2(x)+2f(x)=0有多少个不同实数解,即要求对应于f(x)=0和f(x)=-2有几个不同实数解,故先根据题意作出f(x)的简图:由图可知,当f(x)=0时,它有三个根,当f(x)=-2时,它有二个根.故关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有且只有5个不同实数解.
⑤由题意得siny=-sinx,且-1≤-sinx≤1,得到sinx的取值范围,把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最大值.
解答:解:①若a2-b2=1,则a2-1=b2,即(a+1)(a-1)=b2,
∵a+1>a-1,∴a-1<b,即a-b<1,①正确;
②:∵2b(a-2b)≤()2=,
∴a2+≥a2+≥16.
当且仅当2b=a-2b时取等号.②正确;
③:an=n(n+4)( )n
则 ==×≥1
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an,
当n≥4时,an+1<an,
所以a4最大.③正确;
④:∵题中原方程f2(x)+2f(x)=0有几个不同实数解,
∴即要求对应于f(x)=0和f(x)=-2有几个不同实数解,
故先根据题意作出f(x)的简图,如图,
由图可知,当f(x)=0时,它有三个根,当f(x)=-2时,它有二个根.关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有5个解.④不正确;
⑤:∵sinx+siny=,∴siny=-sinx,
∵-1≤-sinx≤1,∴-≤sinx≤1,
∴siny-cos2x=-sinx-(1-sin2x)
=(sinx-)2-,∴sinx=- 时,siny-cos2x的最大值为(--)2-=,⑤不正确.
故答案为:①②③.
点评:本题主要考查了命题的真假判断与应用,考查了基本不等式在最值问题中的应用、同角三角函数的基本关系,正弦函数的有界性,二次函数的性质等等.
②先利用基本不等式求得2b(a-b)范围,进而代入原式,进一步利用基本不等式求得问题答案.
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理.
④题中原方程f2(x)+2f(x)=0有多少个不同实数解,即要求对应于f(x)=0和f(x)=-2有几个不同实数解,故先根据题意作出f(x)的简图:由图可知,当f(x)=0时,它有三个根,当f(x)=-2时,它有二个根.故关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有且只有5个不同实数解.
⑤由题意得siny=-sinx,且-1≤-sinx≤1,得到sinx的取值范围,把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最大值.
解答:解:①若a2-b2=1,则a2-1=b2,即(a+1)(a-1)=b2,
∵a+1>a-1,∴a-1<b,即a-b<1,①正确;
②:∵2b(a-2b)≤()2=,
∴a2+≥a2+≥16.
当且仅当2b=a-2b时取等号.②正确;
③:an=n(n+4)( )n
则 ==×≥1
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an,
当n≥4时,an+1<an,
所以a4最大.③正确;
④:∵题中原方程f2(x)+2f(x)=0有几个不同实数解,
∴即要求对应于f(x)=0和f(x)=-2有几个不同实数解,
故先根据题意作出f(x)的简图,如图,
由图可知,当f(x)=0时,它有三个根,当f(x)=-2时,它有二个根.关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有5个解.④不正确;
⑤:∵sinx+siny=,∴siny=-sinx,
∵-1≤-sinx≤1,∴-≤sinx≤1,
∴siny-cos2x=-sinx-(1-sin2x)
=(sinx-)2-,∴sinx=- 时,siny-cos2x的最大值为(--)2-=,⑤不正确.
故答案为:①②③.
点评:本题主要考查了命题的真假判断与应用,考查了基本不等式在最值问题中的应用、同角三角函数的基本关系,正弦函数的有界性,二次函数的性质等等.
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