题目内容
（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(
)≥
，则称函数f（x）为上凸函数．现有下列命题：
①f（x）=sinx，x∈[0，π]是上凸函数；
②f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
③二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
④f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且
=λ
，则f(
)≥
；
其中，正确命题的序号是
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
①f（x）=sinx，x∈[0，π]是上凸函数；
②f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
③二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
④f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且
| AC |
| CB |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| f(x1)+λf(x2) |
| 1+λ |
其中，正确命题的序号是
①②④
①②④
（写出所有你认为正确命题的序号）．分析：作图可知①②正确，③不正确，对于④，因为f（x）上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为
，点D的坐标为(
，f(
))，故f(
)≥f(
)．
| f(x1)+λf(x2) |
| 1+λ |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
解答：解；作图可知①②正确，③不正确
对于④，因为f（x）是上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为
，
点D的坐标为(
，f(
))，
于是得f(
)≥f(
)，即④正确．
综上可得正确的有①②④
故答案为①②④
对于④，因为f（x）是上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为
| f(x1)+λf(x2) |
| 1+λ |
点D的坐标为(
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
于是得f(
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
综上可得正确的有①②④
故答案为①②④
点评：本题考查命题真假的判断与应用，解题的关键是熟练掌握一些常见函数的性质，注意数形结合思想的灵活运用，合理地进行等价转化．
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