Question

现有下列命题：
①设a，b为正实数，若a²-b²=1，则a-b＜1；
②△ABC若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；
③数列{n（n+4）（

2

3

）ⁿ中的最大项是第4项；
④设函数f（x）=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

则关于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4个解；
⑤若sinx+siny=

1

3

，则siny-cos²x的最大值是

4

3

．
其中的真命题有

①③

．（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

分析：①将a²-b²=1，分解变形为（a+1）（a-1）=b²，即可证明a-1＜b，即a-b＜1；
②利用余弦定理能推导出（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，由此得到△ABC是等腰三角形或直角三角形；
③求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理；
④根据函数f（x）=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，及f²（x）+2f（x）=0解方程求出方程根的个数，可判断其真假；
⑤由题意得siny=

1

3

-sinx，且-1≤

1

3

-sinx≤1，得到sinx的取值范围，把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最大值．

解答：解：①若a²-b²=1，则a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，故①正确；
②△ABC中，∵acosA=bcosB，
∴a•

b2+c2-a2

2bc

=b•

a2+c2-b2

2ac

，
整理，得（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②错误；
③an=n（n+4）（

2

3

）n，则

an+1

an

=

(n+1)(n+5)( 2 3 )n+1

n(n+4)( 2 3 )n

=

2

3

•

(n+1)(n+5)

n(n+4)

≥1，
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4时，a_n+1＞an，
当n≥4时，a_n+1＜an，
所以a₄最大，故③正确；
④∵f（x）=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，
∴当f（x）=0时，
x=1，或x=0，或x=2，
当f（x）=-2时，x=10.1或x=0.99，
故方程有5个解，故④错误；
⑤∵sinx+siny=

1

3

，∴siny=

1

3

-sinx，∵-1≤

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=

1

3

-sinx-（1-sin²x）
=（sinx-

1

2

）2-

11

12

，∴sinx=-

2

3

时，siny-cos²x的最大值为（-

2

3

-

1

2

）2-

11

12

=

4

9

，
故⑤错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意不等式、三角函数、数列、零点等知识点的合理运用．