题目内容
【题目】如图(1),等腰梯形,
,
,
,
、
分别是
的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线
、
折起,使得点
和点
重合,记为点
,如图(2).
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)根据平几知识得,
,再根据线面垂直判定定理得
面
,最后根据面面垂直判定定理得结论;(Ⅱ)根据条件建立空间直角坐标系,设点坐标,利用方程组以及向量数量积求各平面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
(Ⅰ),
是
的两个三等分点,
易知,是正方形,故
又,且
所以面
又面
所以面
(Ⅱ)过作
于
,过
作
的平行线交
于
,则
面
又所在直线两两垂直,以它们为轴建立空间直角坐标系
则,
,
,
所以,
,
,
设平面的法向量为
则∴
设平面的法向量为
则∴
所以平面与平面
所成锐二面角的余弦值
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