Question

【题目】设函数，其中.

（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（2）若，成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）求得导函数，根据的取值范围分析讨论导函数的符号，进而判断极值点情况。

（2）根据（1）中极值点的情况，讨论分析函数的最值，由恒成立条件求出的取值范围。

详解：解：（1），定义域为，

，

设，

当时，，，函数在为增函数，无极值点.

当时，，

若时，，，函数在为增函数，无极值点.

若时，设的两个不相等的实数根，，且，

且，而，则，

所以当，，，单调递增；当，，，单调递减；当，，，单调递增.因此此时函数有两个极值点；

当时，但，，所以当，，，单调递增；当，，，单调递减.所以函数只有一个极值点.

综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，有两个极值点.

（2）由（1）可知当时在单调递增，而，则当时，，符合题意；

当时，，，在单调递增，而，则当时，，符合题意；

当时，，，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；

当时，设，当时，在单调递增，因此当时，，，于是，当时，此时，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.

另解：（1），定义域为，

，

当时，，函数在为增函数，无极值点.

设，，，

当时，根据二次函数的图象和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数.

若，即时，，，函数在为增函数，无极值点.

若，即或，

而当时此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；

当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；

综上可知当时的极值点个数为；当时的极值点个数为；当时，的极值点个数为.

（2）设函数，，都有成立.

即，当时，恒成立；

当时，，；

当时，，；由均有成立.

故当时，，则只需；

当时，，则需，即.综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是.

另解：设函数，，要使，都有成立，只需函数在上单调递增即可，

于是只需，成立，

当时，令，，

则；当时；当，，

令，关于单调递增，则，则，于是.

又当时，，，所以函数在单调递减，而，

则当时，，不符合题意；

当时，设，当时，在单调递增，因此当时，，于是，当时，此时，不符合题意.

综上所述，