Question

5．设奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（π）=0，则不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集是（　　）

• A． （-π，0）∪（π，+∞）
• B． （-∞，-π）∪（0，π）
• C． （-∞，-π）∪（π，+∞）
• D． （-π，0）∪（0，π）

Answer 1

分析 利用函数是奇函数，不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，然后根据函数单调性的性质解不等式即可．

解答 解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（π）=0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，且f（-π）=-f（π）=0，
则f（x）的图象如图：
∵f（x）是奇函数，
∴不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0等价为$\frac{2f（x）}{x}＜0$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞π}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x＜-π}\end{array}\right.$，
即x＞π或x＜-π，
即不等式的解集为（-∞，-π）∪（π，+∞），
故选：C．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数取值的变化即可求出不等式的解集，考查函数性质的综合应用．