Question

（2012•云南模拟）已知曲线C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），曲线C₂：

x= 2 2 t y= 2 2 t- 2

（t为参数），
（1）曲线C₁、C₂是否有公共点，为什么？
（2）若把上各点的横坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C₁′、C₂′，问C₁′与C₂′公共点的个数和C₁与C₂公共点的个数是否相同？说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先利用公式sin²θ+cos²θ=1将参数θ消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数t得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的距离与半径进行比较，从而得到C₁与C₂公共点的个数；
（2）求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进行判定即可．

解答：解：（1）C₁的普通方程为x²+y²=1，圆心C₁（0，0），半径r=1．…（1分）C₂的普通方程为x-y-

2

=0．…（2分）
因为圆心C₁到直线x-y-

2

=0的距离为1，…（4分）
所以C₂与C₁只有一个公共点．…（5分）
（2）压缩后的参数方程分别为C1′：

x= 1 2 cosθ y=sinθ

（θ为参数）； C2′：

x= 2 4 t y= 2 2 t- 2

…（6分）
化为普通方程为：C1′：4x²+y²=1，C2′：y=2x-

2

，…（8分）
联立消元得8x2-4

2

x+1=0，其判别式△=(-4

2

)2-4×8×1=0，…（9分）
所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C₁与C₂公共点个数相同．…（10分）

点评：本题主要考查了圆与直线的参数方程，以及直线圆的位置关系的判定，同时考查了利用判别式进行判定两曲线的公共点，转化与化归的思想方法，属于基础题．