Question

（2012•云南模拟）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2．
（2）求函数y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析：将绝对值符号去掉，函数写成分段函数，再分段求出不等式的解集及函数的值域，即可确定不等式的解集及函数的最小值．

解答：解：函数f（x）=|2x+1|-|x-4|=

-x-5，x≤- 1 2 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 x-5，x≥4

（1）令-x-5＞2，则x＜-7，∵x≤-

1

2

，∴x＜-7
令3x-3＞2，则x＞

5

3

，∵-

1

2

＜x＜4，∴

5

3

＜x＜4
令x-5＞2，则x＞7，∵x≥4，∴x＞7
∴f（x）＞2的解集为：{x|x＜-7或

5

3

＜x＜4或x＞7}
（2）当x≤-

1

2

时，-x-5≥-

9

2

当-

1

2

＜x＜4时，-

9

2

＜3x-3＜9
当x≥4时，x-5≥-1
∴函数y=f（x）的最小值为-

9

2

．

点评：本题考查绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，属于中档题．