题目内容
【题目】已知点是圆:上任意一点,点与点关于原点对称,线段的垂直平分线与交于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点的动直线与点的轨迹交于两点,在轴上是否存在定点使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2) 在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个点.
【解析】试题分析:(1)由圆的方程求出F1、F2的坐标,结合题意可得点M的轨迹C为以F1,F2为焦点的椭圆,并求得a,c的值,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求;
(2)直线l的方程可设为,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求出A,B横坐标的和与积,假设在y轴上是否存在定点Q(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,可得即.利用向量的坐标运算即可求得m值,即定点Q得坐标.
试题解析:
解:(1)由题意得,
∴点的轨迹为以为焦点的椭圆
∵,
∴
∴点的轨迹的方程为.
(2)当直线的斜率存在时,可设其方程为,设
联立可得,
由求根公式可得
假设在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个点,
则即
∵
,
,
由解得
∴在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个点.
当直线的斜率不存在时,经检验可知也满足以为直径的圆恒过点.
因此在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个点.
【题目】据《中国新闻网》10月21日报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人调查,就是否“取消英语听力”的问题,调查统计的结果如下表:
态度 | 应该取消 | 应该保留 | 无所谓 |
在校学生 | 2100人 | 120人 | y人 |
社会人士 | 600人 | x人 | z人 |
已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.