题目内容
【题目】某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元.
（1）求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S（千元）关于n的表达式；
（2）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值.（最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数）
【答案】（1）
；（2）最佳年限是12年，平均费用为15.5千元.
【解析】
(1)根据已知可得保养、维修、更换易损零件的费用成等差数列，根据首项公式，可得累计费用的表达式;
(2) 由(1)得到平均费用的表达式，结合基本不等式可得年平均费用的最小值.
（1）因为第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元，
故每年的费用构成一个以2为首项，以1为公差的等差数列，
所以前n年的总费用
（2）设使用
年的年平均费用为
，则
当且仅当
时，取等号，取最小值
故最佳年限是12年，平均费用为15.5千元.
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