题目内容
已知由实数构成的集合A满足条件:若a∈A,则
∈A(a≠0,且a≠±1),则集合A中至少有几个元素?证明你的结论.
1+a | 1-a |
分析:由已知中若a∈A,则
∈A(a≠0,且a≠±1),依次代入可得a、
、-
和
均属于A,且互不相等,进而得到结论.
1+a |
1-a |
1+a |
1-a |
1 |
a |
a-1 |
a+1 |
解答:解:∵a∈A,则
∈A,
∴
=-
∈A,
进而有
=
∈A,
∴又有
=a∈A,
∵a∈R,∴a≠-
,
假设a=
,则a2=-1,矛盾,
∴a≠
,
类似方法可证a、
、-
和
四个数互不相等,
这就证得集合A中至少有四个元素.
1+a |
1-a |
∴
1+
| ||
1-
|
1 |
a |
进而有
1+(-
| ||
1-(-
|
a-1 |
a+1 |
∴又有
1+
| ||
1-
|
∵a∈R,∴a≠-
1 |
a |
假设a=
1+a |
1-a |
∴a≠
1+a |
1-a |
类似方法可证a、
1+a |
1-a |
1 |
a |
a-1 |
a+1 |
这就证得集合A中至少有四个元素.
点评:本题考查的知识点集合元素的个数的最大值,其中根据递推式得到集合中的其它元素且证明其互不相等,是解答的核心.
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