Question

【题目】如图，在等腰梯形中， ，上底，下底，点为下底的中点，现将该梯形中的三角形沿线段折起，形成四棱锥.

（1）在四棱锥中，求证： ；

（2）若平面与平面所成二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）由， ， ，点为的中点，得三角形沿线段折起后可得四边形为菱形，边长为， ，取的中点，连接， ， ，可证， ，即可证平面，从而平面，即可得证；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由（1）可证为平面与平面所成二面角的平面角，从而求出， ， ， ，再求出平面的一个法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）证明：由三角形沿线段折起前， ， ， ，点为的中点，得三角形沿线段折起后，四边形为菱形，边长为， ，如图，

取的中点，连接， ， ，

∵由题得和均为正三角形，

∴， ，

又

∴平面，

∵∥

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）解：以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

由平面，有轴在平面内，

在（1）中，∵， ，

∴为平面与平面所成二面角的平面角，

∴，

而，∴且，

得点的横坐标为，点的竖坐标为，

则， ， ， ，

故， ， ，

设平面的一个法向量为，

∴得

令，得， ，∴平面的一个法向量为，

∴ ，

∵直线与平面所成角为锐角或直角，

∴直线与平面所成角的正弦值为．