题目内容
已知A(1,f'(1))是函数y=f(x)的导函数图象上的一点,点B为(x,ln(x+1)),向量
=(1,1),令f(x)=
•
.
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)若x>0,证明:f(x)>
;
(3)若x∈[-1,1]时,不等式
x2≤f(x2)+m2-
m-3都恒成立,求实数m的取值范围.
a |
AB |
a |
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)若x>0,证明:f(x)>
2x2+3x-10 |
2(x+2) |
(3)若x∈[-1,1]时,不等式
1 |
2 |
9 |
2 |
分析:(1)先求出
,再由向量数量积的坐标运算法则得f(x)的解析式,求导后可得f'(1),从而可得函数y=f(x)的表达式
(2)构造新函数g(x)=f(x)-
=ln(x+1)-
,利用导数只需证明函数g(x)在(0,+∞)的下界大于零即可
(3)参变分离可得m2-
m-
≥-ln(x2+1)-
x∈[-1,1]时恒成立,下面只需求函数h(x)=-ln(x2+1)-
的最大值即可,利用导数可求这个值,再解不等式即可求实数m的取值范围
AB |
(2)构造新函数g(x)=f(x)-
2x2+3x-10 |
2(x+2) |
2x |
x+2 |
(3)参变分离可得m2-
9 |
2 |
11 |
2 |
x2 |
2 |
x2 |
2 |
解答:解:(1)∵A(1,f'(1)),B(x,ln(x+1)),∴
=(x-1,ln(x+1)-f′(1))
∴f(x)=ln(x+1)+x-f'(1)-1,∴f′(x)=
+1,∴f′(1)=
∴f(x)=ln(x+1)+x-
(2)设g(x)=f(x)-
=ln(x+1)-
∴g′(x)=
-
=
>0
在(0,+∞)上是增函数,又∵g(0)=0∴g(x)>0,∴f(x)>
(3)由
x2≤f(x2)+m2-
m-3得m2-
m-
≥-ln(x2+1)-
设h(x)=-ln(x2+1)-
,∴h′(x)=-
∴当x∈[-1,0]时,h'(x)>0,h(x)为递增;
当x∈[0,1]时,h'(x)<0,h(x)为递减
∴h(x)max=h(0)=0,∴m2-
m-
≥0,解得m≤-1或m≥
∴实数m的取值范围是m≤-1或m≥
AB |
∴f(x)=ln(x+1)+x-f'(1)-1,∴f′(x)=
1 |
x+1 |
3 |
2 |
5 |
2 |
(2)设g(x)=f(x)-
2x2+3x-10 |
2(x+2) |
2x |
x+2 |
1 |
x+1 |
4 |
(x+2)2 |
x2 |
(x+1)(x+2)2 |
在(0,+∞)上是增函数,又∵g(0)=0∴g(x)>0,∴f(x)>
2x2+3x-10 |
2(x+2) |
(3)由
1 |
2 |
9 |
2 |
9 |
2 |
11 |
2 |
x2 |
2 |
设h(x)=-ln(x2+1)-
x2 |
2 |
x(x2+3) |
x2+1 |
当x∈[0,1]时,h'(x)<0,h(x)为递减
∴h(x)max=h(0)=0,∴m2-
9 |
2 |
11 |
2 |
11 |
2 |
∴实数m的取值范围是m≤-1或m≥
11 |
2 |
点评:本题考查了导数的计算,导数证明不等式,导数求最值的方法,解题时要耐心细致,善于构造新函数解决函数关系问题,对恒成立问题,要多加总结
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