题目内容

已知A(1,f'(1))是函数y=f(x)的导函数图象上的一点,点B为(x,ln(x+1)),向量
a
=(1,1)
,令f(x)=
AB
a

(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)若x>0,证明:f(x)>
2x2+3x-10
2(x+2)

(3)若x∈[-1,1]时,不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-
9
2
m-3
都恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)先求出
AB
,再由向量数量积的坐标运算法则得f(x)的解析式,求导后可得f'(1),从而可得函数y=f(x)的表达式
(2)构造新函数g(x)=f(x)-
2x2+3x-10
2(x+2)
=ln(x+1)-
2x
x+2
,利用导数只需证明函数g(x)在(0,+∞)的下界大于零即可
(3)参变分离可得m2-
9
2
m-
11
2
≥-ln(x2+1)-
x2
2
x∈[-1,1]时恒成立,下面只需求函数h(x)=-ln(x2+1)-
x2
2
的最大值即可,利用导数可求这个值,再解不等式即可求实数m的取值范围
解答:解:(1)∵A(1,f'(1)),B(x,ln(x+1)),∴
AB
=(x-1,ln(x+1)-f′(1))

∴f(x)=ln(x+1)+x-f'(1)-1,∴f′(x)=
1
x+1
+1
,∴f′(1)=
3
2
f(x)=ln(x+1)+x-
5
2

(2)设g(x)=f(x)-
2x2+3x-10
2(x+2)
=ln(x+1)-
2x
x+2
g′(x)=
1
x+1
-
4
(x+2)2
=
x2
(x+1)(x+2)2
>0

在(0,+∞)上是增函数,又∵g(0)=0∴g(x)>0,∴f(x)>
2x2+3x-10
2(x+2)

(3)由
1
2
x2≤f(x2)+m2-
9
2
m-3
m2-
9
2
m-
11
2
≥-ln(x2+1)-
x2
2

h(x)=-ln(x2+1)-
x2
2
,∴h′(x)=-
x(x2+3)
x2+1
∴当x∈[-1,0]时,h'(x)>0,h(x)为递增;
当x∈[0,1]时,h'(x)<0,h(x)为递减
∴h(x)max=h(0)=0,∴m2-
9
2
m-
11
2
≥0
,解得m≤-1或m≥
11
2

∴实数m的取值范围是m≤-1或m≥
11
2
点评:本题考查了导数的计算,导数证明不等式,导数求最值的方法,解题时要耐心细致,善于构造新函数解决函数关系问题,对恒成立问题,要多加总结
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