Question

(理)已知点B₁(1，y₁),B₂(2,y₂),B₃(3,y₃),…,B_n(n,y_n),…(n∈N^*)顺次为某直线l上的点，点A₁(x₁,0),A₂(x₂,0),…,A_n(x_n,0)，…顺次为x轴上的点，其中x₁=a(0＜a≤1).对于任意的n∈N^*,△A_nB_nA_n+1是以B_n为顶点的等腰三角形.

(1)证明x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式.

(2)若l的方程为y=,试问在△A_nB_nA_n+1(n∈N^*)中是否存在直角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

(文)已知函数f(x)=ax³x²+cx+d(a、c、d∈R)满足f(0)=0,f′(1)=0,且f′(x)≥0在R上恒成立.

(1)求a、c、d的值.

(2)若h(x)=x²-bx+,解不等式f′(x)+h(x)＜0.

(3)是否存在实数m,使函数g(x)=f′(x)-mx在区间［m,m+2］上有最小值-5?若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(理)解：(1)∵△A_nB_nA_n+1构成以B_n(n,y_n)为顶点的等腰三角形，

∴=n,即x_n+x_n+1=2n(n∈N^*)①.从而x_n+1+x_n+2=2(n+1)②,               

由②-①,得x_n+2-x_n=2为常数.

显然x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1,…及x₂,x₄,x₆,…,x_2n,…分别成等差数列.

∴x_2n-1=x₁+(n-1)×2=(2n-1)+a-1,

x_2n=x₂+(n-1)×2=(2-a)+(n-1)×2=2n-a(n∈N^*).

∴{x_n}的通项公式为

x_n=                                                  

(2)当n为奇数时，A_n(n+a-1,0),A_n+1(n+1-a,0),

∴|A_nA_n+1|=2(1-a).

当n为偶数时，A_n(n-a,0),A_n+1(n+a,0),∴|A_nA_n+1|=2a.

作B_nC_n⊥x轴于C_n,由于点B_n(n,y_n)在直线l上,

∴y_n=,即|B_nC_n|=.                                       

要使△A_nB_nA_n+1为直角三角形当且仅当|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|,

∴当n为奇数时，有2(1-a)=2(),即12a=11-3n,                        (※)

当n=1时，a=,当n=3时，a=,当n≥5时，方程(※)无解.

当n为偶数时，有12a=3n+1.同理,求得a=.                               

综上所述，当a=或a=或a=时，存在直角三角形.                    

(文)解：(1)∵f(0)=0,∴d=0.

∴f′(x)=ax²-x+c及f′(1)=0,有a+c=.

∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax²x+c≥0恒成立,

即ax²x+-a≥0恒成立，                                            

显然a=0时，上式不能恒成立，

∴a≠0,函数f′(x)=ax²x+-a是二次函数.

由于对一切x∈R,都有f′(x)≥0,于是由二次函数的性质,

可得

即

解得a=.

∴a=c=.                                                               

(2)∵a=c=,

∴f′(x)=x²x+.

∴由f′(x)+h(x)＜0,

即x²x++x²-bx+＜0,

即x²-(b+)x+＜0,即(x-b)(x)＜0.                                        

当b＞时，解集为(,b);

当b＜时,解集为(b,)；

当b=时，解集为.                                                     

(3)∵a=c=,

∴f′(x)=x²x+.

∴g(x)=f′(x)-mx=x²-(+m)x+.

该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1.

假设存在实数m使函数g(x)=f′(x)-mx=x²-(+m)x+在区间［m,m+2］上有最小值-5,

①当m＜-1时，2m+1＜m,函数g(x)在区间［m,m+2］上是递增的,

∴g(m)=-5,即m²-(+m)m+=-5,

解得m=-3或m=.∵＞-1,∴m=舍去.                                   

②当-1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+2，函数g(x)在区间［m,2m+1］上是递减的,

而在区间［2m+1,m+2］上是递增的，

∴g(2m+1)=-5,

即(2m+1)²-(+m)(2m+1)+=-5.

解得m=或m=+,均应舍去.                           

③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g(x)在区间［m,m+2］上递减，

∴g(m+2)=-5,

即(m+2)²-(+m)(m+2)+=-5.

解得m=-1-2或m=-1+2,其中m=-1-2应舍去.

综上可得，当m=-3或m=-1+2时，

函数g(x)=f′(x)-mx在区间［m,m+2］上有最小值-5.