Question

4．如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为$\widehat{PQ}$上任意一点，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范围是[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意，设∠AOM=θ，将所求用向量$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}，\overrightarrow{OA}$表示，利用向量的数量积公式表示为θ的代数式，利用正弦函数的有界性求范围．

解答 解：由题意，设∠AOM=θ，
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}$）（$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+{\overrightarrow{OA}}^{2}-\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{OA}$
=$-\frac{1}{2}$+4-2cosθ-2cos（120°-θ）
=$\frac{7}{2}$-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ
=$\frac{7}{2}$-2sin（θ+30°），
因为θ∈[0，120°]，所以（θ+30°）∈[30°，150°]，
所以sin（θ+30°）$∈[\frac{1}{2}，1]$，
所以$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范围是[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]；
故答案为：[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的恒等变形求范围；关键是将所求用向量的夹角表示，借助于三角函数的有界性求范围．