Question

12．已知实数a和b（b≠0），若不等式|a+2b|+|a-2b|≤M•|b|有解，记实数M的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|x-3|≤m．

Answer 1

分析 （1）分离参数，利用绝对值不等式，求出M的范围，即可求m的值；
（2）利用绝对值的几何意义，解不等式|x-1|+|x-3|≤m

解答 解：（1）由|a+2b|+|a-2b|≤M•|b|，得$M≥\frac{{|{a+2b}|+|{a-2b}|}}{|b|}$．
∵$\frac{{|{a+2b}|+|{a-2b}|}}{|b|}≥\frac{{|{a+2b-（{a-2b}）}|}}{|b|}=4$
要使不等式|a+2b|+|a-2b|≤M•|b|有解，则M≥4，∴m=4…（5分）
（2）由（1）知m=4，∴不等式为|x-1|+|x-3|≤4
由绝对值的几何意义知0≤x≤4，
∴不等式解集为{x|0≤x≤4}…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查绝对值的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．