Question

【题目】已知直线与抛物线相交于两个不同点，点是抛物线在点处的切线的交点。

（1）若直线经过抛物线的焦点，求证：；

（2）若，且直线经过点，求的最小值。

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)1

【解析】

(1)求得抛物线焦点的坐标，当直线的斜率时，设出直线方程，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理.求得过点切线的方程，联立两条切线方程求得交点的坐标，计算，由此证得.当直线的斜率时，根据直线的方程和点的坐标证得.从而证得成立.（2）根据题意求得抛物线的方程，当直线的斜率时，设出直线的方程，代入抛物线方程，写出韦达定理，由弦长公式求得，求得点坐标后利用点到直线的距离公式求得三角形的高，由此求得三角形面积的表达式，利用配方法求得面积的最小值.当直线的斜率时，求得三角形的面积为.综上，的最小值为.

解：（1）由题意可得，

②当时，设直线，点的坐标分别为，

由得，∴，

过点的切线方程为，即，

过点的切线方程为，

由得，∴，

∵，∴；

②当时，则直线，∴；

（2）由题意可得，

①当时，设直线，点的坐标分别为，

由，得，∴，

∴，

由（1）可得过点的切线方程分别为，

由得，∴，

∴到直线的距离，

∴，

当时，取最小值1；

②当时，则直线，∴，

综上，的最小值为1。