Question

11．在极坐标系中，已知射线C₁：θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），动圆C₂：ρ²-2x₀ρcosθ+x₀²-4=0（x₀∈R）．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）若射线C₁与动圆C₂相交于M与N两个不同点，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用tan θ=$\frac{y}{x}$，θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），即可得出C₁的直角坐标方程．利用$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}$，即可得出C₂的直角坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}，ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0，{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$，由于关于ρ的一元二次方程ρ²-$\sqrt{3}$x₀ρ+x₀²-4=0（x₀∈R）在[0，+∞）内有两个实根．可得$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4（{x}_{0}^{2}-4）＞0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}＞0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵tan θ=$\frac{y}{x}$，θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）．
∴C₁的直角坐标方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）．
∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}$，∴C₂的直角坐标方程x²+y²-2x₀x+x₀²-4=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}，ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0，{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$
关于ρ的一元二次方程ρ²-$\sqrt{3}$x₀ρ+x₀²-4=0（x₀∈R）在[0，+∞）内有两个实根．
即$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4（{x}_{0}^{2}-4）＞0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}＞0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4＜{x}_{0}＜4}\\{{x}_{0}＞2}\\{{x}_{0}≥2或{x}_{0}≤-2}\end{array}\right.$，
解得2≤x₀＜4．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、曲线的交点坐标、极坐标方程的应用、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．