题目内容

11.在极坐标系中,已知射线C1:θ=$\frac{π}{6}$(ρ≥0),动圆C2:ρ2-2x0ρcosθ+x02-4=0(x0∈R).
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
(2)若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点,求x0的取值范围.

分析 (1)利用tan θ=$\frac{y}{x}$,θ=$\frac{π}{6}$(ρ≥0),即可得出C1的直角坐标方程.利用$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}$,即可得出C2的直角坐标方程.
(2)联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6},ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0,{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$,由于关于ρ的一元二次方程ρ2-$\sqrt{3}$x0ρ+x02-4=0(x0∈R)在[0,+∞)内有两个实根.可得$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4({x}_{0}^{2}-4)>0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}>0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$,解出即可得出.

解答 解:(1)∵tan θ=$\frac{y}{x}$,θ=$\frac{π}{6}$(ρ≥0),∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x(x≥0).
∴C1的直角坐标方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x(x≥0).
∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}$,∴C2的直角坐标方程x2+y2-2x0x+x02-4=0.
(2)联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6},ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0,{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$
关于ρ的一元二次方程ρ2-$\sqrt{3}$x0ρ+x02-4=0(x0∈R)在[0,+∞)内有两个实根.
即$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4({x}_{0}^{2}-4)>0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}>0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$,
得$\left\{\begin{array}{l}{-4<{x}_{0}<4}\\{{x}_{0}>2}\\{{x}_{0}≥2或{x}_{0}≤-2}\end{array}\right.$,
解得2≤x0<4.

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、曲线的交点坐标、极坐标方程的应用、一元二次方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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