题目内容
6．若曲线C满足下列两个条件：（i）存在直线m在点P（x0，y0）处与曲线C相切；
（ii）曲线C在点P附近位于直线m的两侧．则称点P为曲线C的“相似拐点”．
下列命题不正确的是（ ）
| A． | 点P（0，0）为曲线C：y=x3的“相似拐点” | |
| B． | 点P（0，0）为曲线C：y=sinx的“相似拐点” | |
| C． | 点P（0，0）为曲线C：y=tanx的“相似拐点” | |
| D． | 点P（1，0）为曲线C：y=lnx的“相似拐点” |
分析 分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），可判断出选项是否符合题意．
解答 解：A，由y=x3得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，A不符合题意；
B、由y=sinx得y′=cosx，则y′|x=π=-1，直线y=-x+π是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时x＞sinx，
满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=-x+π两侧，B不符合题意；
C、由y=tanx得y′=sec2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时x＞tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时x＜tanx，
满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，C不符合题意；
D、由y=lnx得y′=$\frac{1}{x}$，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，D符合题意，
故选：D．
点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用：求单调区间和极值、最值，同时考查新定义的理解，属于中档题和易错题．
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如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．
如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为$\sqrt{7}$m，求证：| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |