Question

【题目】设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的导数满足，，其中常数a，b∈R.

（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）设，求函数g（x）的极值.

Answer 1

【答案】(1)6x＋2y－1＝0；(2)g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝－3，在x＝3处取得极大值g（3）＝15e－3.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件解出a，b，得到函数f（x）的表达式，切线方程的斜率即为该点导数值，由点斜式即可写出切线方程；

（Ⅱ）求g（x）导函数g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，可得出单调区间，从而得到极值.

试题解析：（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

则解得

∴f（x）＝x3－x2－3x＋1，∴f（1）＝－，f′（1）＝－3，

∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为

y－＝－3（x－1），即6x＋2y－1＝0；

（2）由（1）知g（x）＝（3x2－3x－3）e－x，

∴g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，

令g′（x）＝0，即（－3x2＋9x）e－x＝0，得x＝0或x＝3，

当x∈（－∞，0）时，g′（x）<0，

故g（x）在（－∞，0）上单调递减.

当x∈（0,3）时，g′（x）>0，故g（x）在（0,3）上单调递增.

当x∈（3，＋∞）时，g′（x）<0，

故g（x）在（3，＋∞）上单调递减.

从而函数g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝－3，

在x＝3处取得极大值g（3）＝15e－3.