题目内容
【题目】四棱锥
，底面
为平行四边形，侧面
底面.已知
，
，
，
为线段
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）连
，交
于点
，连
，可得
，然后根据线面平行的判定定理可得
平面
．（2）由题意得
两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量后，可得两法向量夹角的余弦值，由此可得所求锐二面角的余弦值．
详解：(1) 连，交于点，连．
∵底面
为平行四边形，
∴为的中点.
又在
中，
为
的中点，
∴，
∵
面，
面，
∴
平面．
(2)以
的中点
为原点，分别以为
轴，建立如图所示的坐标系
.
则
，
，
，
．
∴
，
，
，
．
设平面的一个法向量为
，
由
，得
，
令
得
，则
．
同理设平面的一个法向量为
，
由
，得
，
令
得
，则
．
∴
．
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
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【题目】A市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了140位市民进行调查，调查结果统计如下：
支持 | 不支持 | 总计 | |
男性市民 | 60 | ||
女性市民 | 50 | ||
合计 | 70 | 140 |
（I）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（II）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
（ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与支持申办足球世界杯有关；
（ⅱ）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5位退休老人中随机抽取3人，求至多有1位老师的概率。
附：
，其中
| 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
