题目内容

已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点，
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足（其中0为原点），求k的取值范围。

（1）；（2）

解析试题分析：（1）有椭圆方程中读出其长轴长，焦距长，根据题意得出双曲线的长轴长，和焦距长，即可求出双曲线方程。（2）因为直线l与两曲线均有两个不同交点，故联立方程后整理出的一元二次方程均有两根，即判别式均大于0，再根据向量数量积公式列出关于K 的不等式，三个不等式取交集。
试题解析：（1）设双曲线的方程为，由椭圆的方程知，其长轴长为4，焦距长为，则由题意知双曲线中，，所以，故的方程为。
（2）将代入，整理得，由直线与椭圆恒有两个不同的交点得即，
将代入，整理得，由直线与双曲线恒有两个不同的交点得，解得。


解此不等式得
       ③
由①、②、③得
故k的取值范围为
考点：圆锥曲线方程基础知识，直线与圆锥曲线的位置关系，向量数量积公式

练习册系列答案
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已知椭圆：的离心率为且与双曲线：有共同焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆落在第一象限的图像上任取一点作的切线，求与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
（3）设椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆上的一点作轴的垂线交轴于点，若点满足，，连结交于点，求证：.

已知椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点. 问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.

定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线.现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为.
（1）写出的渐近线方程（不用证明）；
（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明.
（3）求值：.

设椭圆E:=1（）过点M（2，）, N（，1），为坐标原点
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。

已知中，点A、B的坐标分别为，点C在x轴上方。
（1）若点C坐标为，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）过点P（m，0）作倾角为的直线交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值。

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）抛物线与椭圆有公共焦点，设与轴交于点，不同的两点、在 上（、与不重合），且满足，求的取值范围.

已知点F是抛物线C：的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=.

（Ⅰ）求点S的坐标；
（Ⅱ）以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；
①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
②延长NM交轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

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