Question

11．凸四边形ABCD的外接圆的圆心O，已知AC≠BD，AC与BD交于点E，若P为四边形ABCD内部一点，使得∠PAB+∠PCB=∠PBC+∠PDC=90°，求证：O，P，E三点共线．

Answer 1

分析 圆O内有一点K，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃、A₄B₄是过K的圆O的弦，若A₁A₂∩A₃A₄=M，B₁B₂∩B₃B₄=N，则K，M，N三点共线，由此能证明O，P，E三点共线．

解答 证明：引理：圆O内有一点K，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃、A₄B₄是过K的圆O的弦，
若A₁A₂∩A₃A₄=M，B₁B₂∩B₃B₄=N，则K，M，N三点共线．
引理的证明：在圆O所在的实射影平面内考虑这样一个射影变换，
它把圆O变为圆，把K为圆心，K的像记为k′等等，
则由圆K′的对称性，${{A}_{1}}^{'}{{A}_{2}}^{'}$与${{B}_{1}}^{'}{{B}_{2}}^{'}$关于K′中心对称，${{A}_{3}}^{'}{{A}_{4}}^{'}$与${{B}_{3}}^{'}{{B}_{4}}^{'}$关于K′中心对称，
故M′与N′关于K′中心对称，从而K′、M′、N′三点共线，
由射影变换性质，得原来K、M、N三点共线．
下面回到本题：
延长AP、BP、CP、DP分别交⊙O于A′、B′、C′、D′，
连结A′C′、B′D′、A‘B、BC’，
则∠A′C′B+∠CA′B=∠A′AB+∠C′CB=90°，
∴∠A′BC′=90°，A′C′为直径，同理B′D′为直径，
∵A不与D、D重合，A′C′不与B′D′重合，∴A′C′∩B′D′=O，
在引理中，令K=P，A₁=A，A₂=C，B₁=B，B₂=D，即得到O、P、E三点共线，
∴O、P、E共线．

点评 本题考查与圆有关的三点共线的证明，综合性强，难度较大，解题时要注意射影性质的合理运用．