Question

20．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，则实数c的取值范围是（　　）

• A． c≥4
• B． c≥3
• C． c≥2
• D． c≥1

Answer 1

分析 求出函数的导数，由题意可得f（1）=-2，f′（1）=0，解方程可得a=1，b=0，进而得到f（x）的解析式，求得导数，求得极值和端点的函数值，得到[-2，2]上的最值，即可得到c的范围．

解答 解：f（x）的导数为f′（x）=3ax²+2bx-3，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b-3=-2}\\{f′（1）=3a+2b-3=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，则f（x）=x³-3x，
令f′（x）=3x²-3=0，解得x=±1，
由f（-1）=2，f（1）=-2，f（-2）=-2，f（2）=2，
当x∈[-2，2]时，f（x）_min=-2，f（x）_max=2，
由|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
可得c≥4，
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立思想的运用，属于中档题．