Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足$\frac{1}{2}$S_n=a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}中的任意三项不可能成等差数列；
（3）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$，T_n为{b_n}的前n项和，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）运用反证法，假设数列{a_n}中的任意三项成等差数列，由（1）的结论，推出矛盾，即可得证；
（3）把数列的通项公式放大，然后利用等比数列的求和公式求和后再放大得答案．

解答 （1）解：n=1时，$\frac{1}{2}$S₁=a₁-1=$\frac{1}{2}$a₁，
可得a₁=2，
n＞1时，$\frac{1}{2}$S_n-1=a_n-1-1，
与$\frac{1}{2}$S_n=a_n-1，
相减可得，$\frac{1}{2}$a_n=a_n-a_n-1，
即为a_n=2a_n-1，
即有数列{a_n}为等比数列，且a_n=2ⁿ；
（2）证明：假设数列{a_n}中的任意三项成等差数列，
由它们构成等比数列，则它们为公比为1的常数列，
这与公比为2的等比数列矛盾，故假设错误，
则数列{a_n}中的任意三项不可能成等差数列；
（3）证明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$
=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n}-2•{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜b₁+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=2+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜3．

点评 本题考查了数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查了反证法和放缩法证明数列不等式，是中档题．