题目内容

对于数列{an},若存在确定的自然数T>0,使得对任意的自然数n∈N*,都有:an+T=an成立,则称数列{an}是以T为周期的周期数列.
(1)记Sn=a1+a2+a3+…+an,若{an}满足an+2=an+1-an,且S2=1007,S3=2010,求证:数列{an}是以6为周期的周期数列,并求S2009
(2)若{an}满足数学公式,且an+1=-2an2+2an,试判断{an}是否为周期数列,且说明理由;
(3)由(1)得数列{an},又设数列{bn},其中数学公式,问是否存在最小的自然数n(n∈N*),使得对一切自然数m≥n,都有bm>2009?请说明理由.

解:(1)an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4
=-an+3=-an+2+an+1=-(an+1-an)+an+1=an
得T=6
所以,数列{an}是以6为周期的周期数列,
周期为任意正整数
又由 
得a1=2,a2=1005,a3=1003,a4=-2,a5=-1005,a6=-1003S6=0,
且数列{an}是以6为周期的周期数列,
所以,S6n=0,
所以 S2009=S5=a3=1003
(2)当p=0时,a1=a2=0,an+1=-2an2+2an=0,
即{an}是周期数列
当p≠0,时,

由已知
且an+1=-2an2+2an
可得
依此类推可得(n∈N*
所以 an+1-an=-2an2+an=an(1-2an)>0,所以an+1>an
即数列{an}是递增数列,非周期数列;
(3)由(1)知,S2=a1+a2=a1+1005=1007,
所以a1=2,a2=1005,a3=1003,a4=-2,a5=-1005,a6=-1003,
且数列{an}是周期为6的周期数列,
所以(anmax=1005(n∈N*),(anmin=-1005,
且 a6n+1=2,a6n+2=1003,a6n+3=1005,a6n+4=-2,
a6n+5=-1005,a6n+6=-1003,
而当n≥12时,

即2n≥2009+1005=3014
得n≥1507,即 n≥1507时,
都有bn>2009;

综上,存在最小的自然数n=1506,
对一切自然数m,当m≥n=1506,
都有bm>2009.
分析:(1)an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4=-an+3=-an+2+an+1=-(an+1-an)+an+1=an,得T=6,由此能求出 S2009=S5=a3=1003.
(2)当p=0时,a1=a2=0,an+1=-2an2+2an=0,即{an}是周期数列,由此能推导出数列{an}是递增数列,非周期数列.
(3)由S2=a1+a2=a1+1005=1007,知a1=2,a2=1005,a3=1003,a4=-2,a5=-1005,a6=-1003,且数列{an}是周期为6的周期数列,由此能推导出存在最小的自然数n=1506,对一切自然数m,当m≥n=1506,都有bm>2009.
点评:本题考查数列和不等式的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐条件,合理地进行等价转化.
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