Question

5．已知函数f（x）定义在非负整数集上，且对于任意正整数x，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（5）=1，求f（11）+f（2015）的值．

Answer 1

分析 根据条件求出函数f（x）是周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x）=f（x-1）+f（x+1），
∴f（x+1）=f（x）+f（x+2），
即f（x）=f（x-1）+f（x）+f（x+2），
即f（x-1）+f（x+2）=0，
即f（x）+f（x+3）=0，
则f（x+3）=-f（x），
即f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
当x＞0时，函数f（x）是周期为6的周期函数，
则f（11）=f（6+5）=f（5）=1，
f（2015）=f（335×6+5）=f（5）=1，
则f（11）+f（2015）=1+1=2．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．