Question

【题目】已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称．

（1）求的解析式；

（2） 若函数的图象与直线在上只有一个交点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

分析：(1)根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质确定的解析式；(2)先化简，再同一坐标系中作出y＝sin和y＝a的图象，根据图像确定实数的取值范围．

详解：(1) f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－ (1＋cos2ωx)＋＝sin＋1.∵ 函数f(x)的最小正周期为π，∴ ＝π，即ω＝±1，

∴ f(x)＝sin＋1.

① 当ω＝1时，f(x)＝sin＋1，∴ f＝sin＋1不是函数的最大值或最小值，

∴ 其图象不关于x＝对称，舍去．

② 当ω＝－1时，f(x)＝－sin＋1，

∴ f＝－sin＋1＝0是最小值，

∴ 其图象关于x＝对称．

故f(x)的解析式为f(x)＝1－sin.

(2) y＝1－f(x)＝sin，在同一坐标系中作出y＝sin和y＝a的图象：

由图可知，直线y＝a在a∈或a＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a∈或a＝1.