题目内容
(本小题满分12分)
已知抛物线()的焦点为椭圆的右焦点,点、为抛物线上的两点,是抛物线的顶点,⊥.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线过定点;
(Ⅲ)设弦的中点为,求点到直线的距离的最小值.
已知抛物线()的焦点为椭圆的右焦点,点、为抛物线上的两点,是抛物线的顶点,⊥.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线过定点;
(Ⅲ)设弦的中点为,求点到直线的距离的最小值.
解:(Ⅰ)椭圆的右焦点,由题意知 ∴.……2分
抛物线的标准方程为.……………………………………………………3分
(Ⅱ)解法一:设直线方程为,.
由 得.…………………………………4分
则.…………………………………………………5分
∵⊥,,
∴,∴.…………………………………7分
∴直线的方程为,该直线恒过定点.……………………8分
解法二:①当直线的斜率不存在时,易求直线的方程为,
直线过定点. ……………………………………………………………4分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为:,
由得.
则. ………………………………………………5分
∵⊥,,
,∴. ……………………………7分
直线的方程为 该直线恒过定点.……………8分
(Ⅲ)点到直线的距离:
10分
∴当时,取最小值为.……………………………………………12分
抛物线的标准方程为.……………………………………………………3分
(Ⅱ)解法一:设直线方程为,.
由 得.…………………………………4分
则.…………………………………………………5分
∵⊥,,
∴,∴.…………………………………7分
∴直线的方程为,该直线恒过定点.……………………8分
解法二:①当直线的斜率不存在时,易求直线的方程为,
直线过定点. ……………………………………………………………4分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为:,
由得.
则. ………………………………………………5分
∵⊥,,
,∴. ……………………………7分
直线的方程为 该直线恒过定点.……………8分
(Ⅲ)点到直线的距离:
10分
∴当时,取最小值为.……………………………………………12分
略
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